Question

如图1，正方形ABCD中，点H在BC上，连接DH交正方形对角线AC于点E，过点E作DH的垂线交线段AB、CD于点F、G。

（1）求证：

（2）判断DH、FG的数量关系，并说明理由；

（3）在图1中，延长FG与BC交于点P，连接DF、DP（如图2），试探究DF与DP的关系，并说明理由。

Answer

【解析】
（1）证明：如图

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB∥CD，∠DCB=∠BAD=∠ADC=90°，AB=BC=CD=AD

∴∠1=∠3，∠2+∠4=90°

∵DH⊥FG，

∴∠DEG=90°

∴∠3+∠4=90°，

∴∠2=∠3，

∴∠1=∠2．

（2）DH=FG

证明：过点F作FP垂直于DC，垂足为P，

∴∠FPD=90°，

∵∠BAD=∠ADC=∠FPG=90°，

∴四边形AFPD是矩形，

∴AD=FP，

∴∠2=∠3，∠FPG=∠BCD，FP=CD，

∴△FPG≌△DCH，

∴PF=DC

（3）如图2，过点E分别作AD、BC的垂线，交AD、BC于点M、N，交AB、CD于点R、T．

∵点E在AC上，可得四边形AREM、ENCT是正方形．

∴△FRE≌△DME≌△ENP，

∴FE=DE=EP，

又∵DE⊥FP，

∴DF与DP的关系为相等且垂直

【解析】（1）由正方形的性质和已知条件可以求出∠BCD=∠DEG=90°，可以得出∠2=∠3，由AB∥CD可以得出∠1=∠3，从而可以得出结论．

（2）过点F作FP垂直于DC，垂足为P，在正方形中易证PF=DC，再证△FPG≌△DCH可证 DH=FG．

（3）因为正方形的四个边相等，四个角都是直角，所以很容易证明△FRE≌△DME≌△ENP所以FE=DE=EP，DE⊥FP，从而DF与DP的关系为相等且垂直．