Question

已知抛物线y＝ax²＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，线段OB．OC的长（OB<OC）是方程x²－10x＋16＝0的两个根，且抛物线的对称轴是直线x＝－2．

（1）求A、B、C三点的坐标；

（2）求此抛物线的表达式；

（3）连接AC、BC，若点E是线段AB上的一个动点（与点A．点B不重合），过点E作EF∥AC交BC于点F，连接CE，设AE的长为m，△CEF的面积为S，求S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；

（4）在（3）的基础上试说明S是否存在最大值，若存在，请求出S的最大值，并求出此时点E的坐标，判断此时△BCE的形状；若不存在，请说明理由．

Answer

(1) 点B的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，8）点A的坐标为（﹣6，0） (2) y=﹣x2﹣x+8（3）S=﹣m2+4m ，m的取值范围是0＜m＜8  (4) 存在， S最大值=8，点E的坐标为（﹣2，0），△BCE为等腰三角形

【解析】（1）解方程x2﹣10x+16=0得x1=2，x2=8 （1分）

∵点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，且OB＜OC

∴点B的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，8）

又∵抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=﹣2

∴由抛物线的对称性可得点A的坐标为（﹣6，0）（2分）

（2）∵点C（0，8）在抛物线y=ax2+bx+c的图象上

∴c=8，将A（﹣6，0）、B（2，0）代入表达式，

得：

解得

∴所求抛物线的表达式为y=﹣x2﹣x+8（5分）

（3）依题意，AE=m，则BE=8﹣m，

∵OA=6，OC=8，

∴AC=10

∵EF∥AC

∴△BEF∽△BAC

∴=，即=

∴EF=（6分）

过点F作FG⊥AB，垂足为G，

则sin∠FEG=sin∠CAB=

∴=

∴FG=•=8﹣m

∴S=S△BCE﹣S△BFE=（8﹣m）×8﹣（8﹣m）（8﹣m）

=（8﹣m）（8﹣8+m）=（8﹣m）m=﹣m2+4m（8分）

自变量m的取值范围是0＜m＜8 （9分）

（4）存在．

理由：∵S=﹣m2+4m=﹣（m﹣4）2+8且﹣＜0，

∴当m=4时，S有最大值，S最大值=8 （10分）

∵m=4，

∴点E的坐标为（﹣2，0）

∴△BCE为等腰三角形．（12分）

（1）先解一元二次方程，得到线段OB、OC的长，也就得到了点B、C两点坐标，根据抛物线的对称性可得点A坐标；

（2）把A、B、C三点代入二次函数解析式就能求得二次函数解析式；

（3）易得S△EFF=S△BCE﹣S△BFE，只需利用平行得到三角形相似，求得EF长，进而利用相等角的正弦值求得△BEF中BE边上的高；

（4）利用二次函数求出最值，进而求得点E坐标．OC垂直平分BE，那么EC=BC，所求的三角形是等腰三角形．