Question

如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，OA = 6，AB = 4，直线y = - x +3与坐标轴交于D、E。设M是AB的中点，P是线段DE上的动点.

（1）求M、D两点的坐标；

（2）当P在什么位置时，PA = PB？求出此时P点的坐标；

（3）过P作PH⊥BC，垂足为H，当以PM为直径的⊙F与BC相切于点N时，求梯形PMBH的面积.

Answer

【解析】
（1）

（2）∵PA=PB，∴点P在线段AB的中垂线上，

∴点P的纵坐标是2，又∵点P在y=-x+3上，

∴点P的坐标为（1,2）·

（3）设P（x,y）∵点P在y=-x+3上，

∴P（x, -x+3），

连结NF.FN⊥BC，F是圆心.

∴N是线段HB的中点，

。

过P作PQ⊥AB于Q，

则，在Rt△PQM中， PM2= PQ2 +QM2，即 ，化简得： ，·

解得： ，·

【解析】（1）因为四边形OABC是矩形，OA=4，AB=2，直线y=-x+3 ，与坐标轴交于D、E，M是AB的中点，所以令y=0，即可求出D的坐标，而AM=2，所以M（6，2）；

（2）因为PA=PB，所以P是AB的垂直平分线和直线ED的交点，而AB的中垂线是y=2，所以P的纵坐标为2，令直线ED的解析式中的y=2，求出的x的值即为相应的P的横坐标；

（3）可设P（x，y），连接PN、MN、NF，因为点P在y=-x+3 上，所以P（x，-x+3 )， 可得到关于x的方程，解之即可求出x的值，而所求面积的四边形是一个直角梯形，所以=(BM+HP)•BH