Question

如图1，在平面直角坐标系中，以坐标原点O为圆心的⊙O的半径为，直线与坐标轴分别交于A、C两点，点B的坐标为(4,1)，⊙B与x轴相切于点M。

（1）求点A的坐标及∠CAO的度数；

（2）⊙B以每秒1个单位长度的速度沿x轴负方向平移，同时，若直线绕点A顺时针匀速旋转，当⊙B第一次与⊙O相切时，直线也恰好与⊙B第一次相切，见图（2）求B₁的坐标以及直线AC绕点A每秒旋转多少度？

（3）若直线不动，⊙B沿x轴负方向平移过程中，能否与⊙O与直线同时相切。若相切，说明理由。

Answer

【解析】
（1）A（，0）

         ∵  C（0，）.  ∴  OA=OC  ∵  OA⊥OC，  ∴∠CAO=45°            

 （2） 如图，设⊙B平移t秒到⊙B1处与⊙O第一次相切，此时，直线l旋转到l1恰好与⊙B1 第一次相切于点P，⊙B1与x轴相切于点N，连接B1O，B1N.

则MN=t，O B1= ， B1N=1，B1N⊥AN.

∴ON=1，∴MN=3，即t=3                                                

连接B1A，B1P，则B1P⊥AP，B1P= B1N，∴∠PA B1=∠NA B1.

∵OA=O B1=，∴∠A B1O=∠NA B1. ∴∠PA B1＝∠A B1O. ∴PA∥B1O.

在Rt△NO B1中，∠B1ON＝45° ∴∠PAN＝45° ∴∠1＝90°.

∴直线AC绕点A平均每秒旋转30°

（3）  能，设⊙B与⊙O第二次相切时⊙B的圆心为B2，作B2E⊥AC于E，

      作OH⊥AC于H，则四边形B2EHO为矩形，则B2E=OH=1，故此时⊙B与直线同时相切。

【解析】（1）根据直线的解析式，易得AC的坐标，进而可得OA、OC的关系，由三角函数的定义可得∠CAO的大小；

（2）设相切时，MN=t，易得ON，MN的值，进而可得∠AB1O=∠NAB1，故PA∥B1O；易得在Rt△NOB1中，∠1=90°，即可得出答案；

（3）先假设能，且设⊙B与⊙O第二次相切时⊙B的圆心为B2，作B2E⊥AC于E．易得四边形B2EHO为平行四边形，此时⊙B与直线l同时相切．