Question

如图，四边形ABCD是正方形，点G是BC边上任意一点，DE⊥AG于E，BF∥DE，交AG于F．

（1）求证：AF﹣BF=EF；

（2）将△ABF绕点A逆时针旋转，使得AB与AD重合，记此时点F的对应点为点F′，若正方形边长为3，求点F′与旋转前的图中点E之间的距离．

Answer

（1）证明见解析（2）3

【解析】（1）证明：如图，∵正方形ABCD，∴AB=AD，∠BAD=∠BAG+∠EAD=90°。

      ∵DE⊥AG，∴∠AED=90°。∴∠EAD+∠ADE=90°。∴∠ADE=∠BAF。

又∵BF∥DE，∴∠AEB=∠AED=90°。

在△AED和△BFA中，∵∠AEB=∠AED，∠ADE=∠BAF，AD = AB。

∴△AED≌△BDA（AAS）。∴BF=AE。

∵AF﹣AE=EF，∴AF﹣BF=EF。

（2）【解析】
如图，

根据题意知：∠FAF′=90°，DE=AF′=AF，

∴∠F′AE=∠AED=90°，即∠F′AE+∠AED=180°。

∴AF′∥ED。∴四边形AEDF′为平行四边形。

又∵∠AED=90°，∴四边形AEDF′是矩形。

∴EF′=AD=3。

∴点F′与旋转前的图中点E之间的距离为3。

（1）由四边形ABCD为正方形，可得出∠BAD为90°，AB=AD，进而得到∠BAG与∠EAD互余，又DE垂直于AG，得到∠EAD与∠ADE互余，根据同角的余角相等可得出∠ADE=∠BAF，利用AAS可得出三角形ABF与三角形ADE全等，利用全等三角的对应边相等可得出BF=AE，由AF﹣AE=EF，等量代换可得证。

（2）将△ABF绕点A逆时针旋转，使得AB与AD重合，记此时点F的对应点为点F′，连接EF′，如图所示，由旋转的性质可得出∠FAF′为直角，AF=AF′，由（1）的全等可得出AF=DE，等量代换可得出DE=AF′=AF，再利用同旁内角互补两直线平行得到AF′与DE平行，根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形可得出AEDF′为平行四边形，再由一个角为直角的平行四边形为矩形可得出AEDF′为矩形，根据矩形的对角线相等可得出EF′=AD，由AD的长即可求出EF′的长。