Question

如图，点O是线段AB上的一点，OA=OC，OD平分∠AOC交AC于点D，OF平分∠COB，CF⊥OF于点F．

（1）求证：四边形CDOF是矩形；

（2）当∠AOC多少度时，四边形CDOF是正方形？并说明理由．

Answer

（1）证明见解析（2）当∠AOC=90°时，四边形CDOF是正方形，理由见解析

【解析】（1）证明：∵OD平分∠AOC，OF平分∠COB（已知），

∴∠AOC=2∠COD，∠COB=2∠COF。

∵∠AOC+∠BOC=180°，∴2∠COD+2∠COF=180°。∴∠COD+∠COF=90°。

∴∠DOF=90°。

∵OA=OC，OD平分∠AOC（已知）。

∴OD⊥AC，AD=DC（等腰三角形的“三合一”的性质）。∴∠CDO=90°。

∵CF⊥OF，∴∠CFO=90°。

∴四边形CDOF是矩形。

（2）【解析】
当∠AOC=90°时，四边形CDOF是正方形。理由如下：

∵∠AOC=90°，AD=DC，∴OD=DC。

又由（1）知四边形CDOF是矩形，则四边形CDOF是正方形。

因此，当∠AOC=90°时，四边形CDOF是正方形。

（1）利用角平分线的性质、平角的定义可以求得∠DOF=90°；由等腰三角形的“三合一”的性质可推知OD⊥AC，即∠CDO=90°；根据已知条件“CF⊥OF”知∠CFO=90°；则三个角都是直角的四边形是矩形。

（2）当∠AOC=90°时，四边形CDOF是正方形；因为Rt△AOC的斜边上的中线OD等于斜边的一半，所以矩形的邻边OD=CD，所以矩形CDOF是正方形。