Question

如图，AB是⊙O的弦，点D是半径OA上的动点（与点A．O不重合），过点D垂直于OA的直线交⊙O于点E、F，交AB于点C．

（1）点H在直线EF上，如果HC=HB，那么HB是⊙O的切线吗？请说明理由；

（2）连接AE、AF，如果，并且CF=16，FE=50，求AF的长．

Answer

（1）HB是⊙O的切线，理由见解析（2）

【解析】【解析】
（1）HB是⊙O的切线。理由如下：

连接OB。

∵HC=HB，∴∠HCB=∠HBC。

又∵OB=OA，∴∠OAB=∠OBA。

∵CD⊥OA，∴∠ADC=90°。∴∠ACD+∠OAB=90°。

∵∠ACD=∠HCB，∴∠OBA+∠HBA=90°。

∴HB⊥OB。∴HB是⊙O的切线。

（2）∵，∴∠FAB=∠AEF。

又∵∠AFE=∠CFA，∴△AFE∽△CFA。

∴。∴AF2=CF•FE。

∵CF=16，FE=50，

∴AF=。

（1）连接HB，得出∠HCB=∠HBC，以及∠ACD+∠OAB=90°，∠OBA+∠HBA=90°，再根据切线的判定定理得出即可。

（2）利用相似三角形的判定得出△AFE∽△CFA，即可得出，代值求出即可。