Question

如图，抛物线与x轴交于A．B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点C与点F关于抛物线的对称轴对称，直线AF交y轴于点E，|OC|：|OA|=5：1．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求直线AF的解析式；

（3）在直线AF上是否存在点P，使△CFP是直角三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．

Answer

（1）y=x2﹣4x﹣5（2）y=﹣x﹣1 (3) 直线AF上存在点P（0，﹣1）或（0，﹣1）使△CFP是直角三角形

【解析】【解析】
（1）在y=x2﹣bx﹣5中令x=0，得y=5，∴|OC|=5。

 ∵|OC|：|OA|=5：1，∴|OA|=1。∴A（﹣1，0）。

把A（﹣1，0）代入y=x2﹣bx﹣5得（﹣1）2+b﹣5=0，解得b=4。

∴抛物线的解析式为y=x2﹣4x﹣5。

（2）∵y=x2﹣4x﹣5=（x﹣2）2﹣9，∴抛物线的的对称轴为x=2。

 ∵点C与点F关于对称轴对称，C（0，﹣5）∴F（4，﹣5）。

设直线AF的解析式为y=kx+b，

把F（4，﹣5），A（﹣1，0），代入y=kx+b，得

，解得。∴直线FA的解析式为y=﹣x﹣1。

（3）存在。理由如下：

①当∠FCP=90°时，点P与点E重合，

∵点E是直线y=﹣x﹣1与y轴的交点，∴E（0，﹣1）。∴P（0，﹣1）。

②当CF是斜边时，过点C作CP⊥AF于点P。

设P（x1，﹣x1﹣1），

∵∠ECF=90°，E（0，﹣1），C（0，﹣5），F（4，﹣5），

∴CE=CF。∴EP=PF。∴CP=PF。

∴点P在抛物线的对称轴上。∴x1=2。

把x1=2代入y=﹣x﹣1，得y=﹣3。∴P（2，﹣3）。

综上所述，直线AF上存在点P（0，﹣1）或（0，﹣1）使△CFP是直角三角形。

（1）根据抛物线解析式求出OC的长度，再根据比例求出OA的长度，从而得到点A的坐标，然后把点A的坐标代入抛物线解析式计算求出b，即可得到抛物线解析式。

（2）由y=x2﹣4x﹣5=（x﹣2）2﹣9可得对称轴为x=2，根据点C、F关于对称轴对称可得点F的坐标，然后利用待定系数法求直线函数解析式求解即可。

（3）分①点P与点E重合和②CF是斜边两种情况讨论即可。