Question

如图，定义：若双曲线 (k＞0)与它的其中一条对称轴y＝x相交于A、B两点，则线段AB的长度为双曲线 (k＞0)的对径．

(1)求双曲线的对径．

(2)若双曲线 (k＞0)的对径是，求k的值．

(3)仿照上述定义，定义双曲线 (k＜0)的对径．

Answer

（1）2（2）25 (3) 若双曲线 (k＜0)与它的其中一条对称轴y＝－x相交于A、B两点，则线段AB的长称为双曲线 (k＜0)的对径

【解析】【解析】
如图，过A点作AC⊥x轴于C，

（1）解方程组，得，

∴A点坐标为(1，1)，B点坐标为(－1，－1)。

∴OC＝AC＝1，∴OA＝OC＝。∴AB＝2OA＝2，

∴双曲线的对径是2。

（2）∵双曲线的对径为，即AB＝，OA＝5。

∴OA＝OC＝AC，∴OC＝AC＝5。∴点A坐标为(5，5)。

把A(5，5)代入双曲线 (k＞0)得k＝5×5＝25，即k的值为25。

（3）若双曲线 (k＜0)与它的其中一条对称轴y＝－x相交于A、B两点，则线段AB的长称为双曲线 (k＜0)的对径。

过A点作AC⊥x轴于C，

（1）解方程组，可得到A点坐标为(1，1)，B点坐标为(－1，－1)，即OC＝AC＝1，由勾股定理可求AB，于是得到双曲线的对径。

   （2）根据双曲线的对径的定义得到当双曲线的对径为，即AB＝，OA＝5，根据OA＝OC＝AC，则OC＝AC＝5，得到点A坐标为(5，5)，把A(5，5)代入双曲线 (k＞0)即可得到k的值；

（3）双曲线 (k＜0)的一条对称轴与双曲线有两个交点，根据题目中的定义易得到双曲线（k＜0)的对径。