Question

如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，E是BC的中点，连接DE、OE．

(1)判断DE与⊙O的位置关系并说明理由；(2)若tanC＝，DE＝2，求AD的长．

Answer

（1）DE与⊙O相切，理由见解析(2)

【解析】【解析】
（1）DE与⊙O相切。理由如下：

连接OD，BD，

∵AB是直径，∴∠ADB＝∠BDC＝90°。

∵E是BC的中点，∴DE＝BE＝CE。

∴∠EDB＝∠EBD。

∵OD＝OB，∴∠OBD＝∠ODB。

∴∠EDO＝∠EBO＝90°。∴DE与⊙O相切。

（2）∵tanC＝，∴可设BD＝x，CD＝2x。

∵在Rt△BCD中，BC＝2DE＝4，BD2＋CD2＝BC2

∴(x)2＋(2x)2＝16，解得：x＝ (负值舍去)。

∴BD＝x＝。

∵∠ABD＝∠C，∴tan∠ABD＝tanC。

∴AD＝BD＝。

答：AD的长是。

（1）连接OD，BD，求出∠ADB＝∠BDC＝90°，推出DE＝BE＝CE，推出∠EDB＝∠EBD，∠OBD＝∠ODB，推出∠EDO＝∠EBO＝90°即可。

（2）由tanC＝可设BD＝x，CD＝2x，在Rt△BCD中，由勾股定理求出x，从而求出BD，根据tan∠ABD＝tanC求出AD＝BD，代入求出即可。