Question

若x₁、x₂是关于一元二次方程ax²＋bx＋c(a≠0)的两个根，则方程的两个根x₁、x₂和系数a、b、c有如下关系：x₁＋x₂＝，x₁•x₂＝．把它称为一元二次方程根与系数关系定理．如果设二次函数y＝ax²＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的两个交点为A(x₁，0)，B(x₂，0)．利用根与系数关系定理可以得到A、B连个交点间的距离为：AB＝|x₁－x₂|＝

。

参考以上定理和结论，解答下列问题：

设二次函数y＝ax²＋bx＋c(a＞0)的图象与x轴的两个交点A(x₁，0)，B(x₂，0)，抛物线的顶点为C，显然△ABC为等腰三角形．

(1)当△ABC为直角三角形时，求b²－4ac的值；

(2)当△ABC为等边三角形时，求b²－4ac的值．

Answer

（1）4（2）12

【解析】【解析】
（1）当△ABC为直角三角形时，

过C作CE⊥AB于E，

则AB＝2CE。

∵抛物线与x轴有两个交点，△＝b2－4ac＞0，

则|b2－4ac|＝b2－4ac。

∵a＞0，∴AB。

又∵CE，∴。

∴，即。

∵b2－4ac＞0，∴b2－4ac＝4。

（2）当△ABC为等边三角形时，由(1)可知CE＝AB，

∴。

∵b2－4ac＞0，∴b2－4ac＝12。

（1）当△ABC为直角三角形时，由于AC＝BC，所以△ABC为等腰直角三角形，过C作CE⊥AB于E，则AB＝2CE．根据本题定理和结论，得到AB，根据顶点坐标公式，得到CE，列出方程，解方程即可求出b2－4ac的值。

（2）当△ABC为等边三角形时，解直角△ACE，得CE＝AB，据此列出方程，解方程即可求出b2－4ac的值。