Question

如图，Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为(－3，0)、(0，4)，抛物线y＝x²＋bx＋c经过点B，且顶点在直线x＝上．

(1)求抛物线对应的函数关系式；

(2)若把△ABO沿x轴向右平移得到△DCE，点A、B、O的对应点分别是D、C、E，当四边形ABCD是菱形时，试判断点C和点D是否在该抛物线上，并说明理由；

(3)在(2)的条件下，连接BD，已知对称轴上存在一点P使得△PBD的周长最小，求出P点的坐标；

(4)在(2)、(3)的条件下，若点M是线段OB上的一个动点(点M与点O、B不重合)，过点M作∥BD交x轴于点N，连接PM、PN，设OM的长为t，△PMN的面积为S，求S和t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围，S是否存在最大值？若存在，求出最大值和此时M点的坐标；若不存在，说明理由．

Answer

（1）（2）点C和点D都在所求抛物线上，理由见解析(3) P()(4) 当时，S取最大值是。此时，点M的坐标为(0，)

【解析】【解析】
（1）∵抛物线y＝x2＋bx＋c经过点B(0，4)，∴c＝4。

∵顶点在直线x＝上，∴，解得。

∴所求函数关系式为。

（2）在Rt△ABO中，OA＝3，OB＝4，∴。

∵四边形ABCD是菱形，∴BC＝CD＝DA＝AB＝5。

∴C、D两点的坐标分别是(5，4)、(2，0)，

当x＝5时，；

当x＝2时，。

∴点C和点D都在所求抛物线上。

（3）设CD与对称轴交于点P，则P为所求的点，

设直线CD对应的函数关系式为y＝kx＋b，

则，解得，。∴直线CD对应的函数关系式为。

当x＝时，。∴P()。

（4）∵MN∥BD，∴△OMN∽△OBD。

∴，即，得。

设对称轴交x于点F，则

。

∵，

 ，

 (0＜t＜4)。

∵，，0＜＜4，

∴当时，S取最大值是。此时，点M的坐标为(0，)。

（1）根据抛物线y＝x2＋bx＋c经过点B(0，4)，以及顶点在直线x＝上，得出b，c即可。

（2）根据菱形的性质得出C、D两点的坐标分别是(5，4)、(2，0)，利用图象上点的性质得出x＝5或2时，y的值即可。

（3）首先设直线CD对应的函数关系式为y＝kx＋b，求出解析式，当x＝时，求出y即可。

（4）利用MN∥BD，得出△OMN∽△OBD，进而得出，得到，从而表示出△PMN的面积，利用二次函数最值求出即可。