Question

如图，点A，B，C，D在⊙O上，AB=AC，AD与BC相交于点E，，延长DB到点F，使，连接AF．

（1）证明：△BDE∽△FDA；

（2）试判断直线AF与⊙O的位置关系，并给出证明．

Answer

（1）证明见解析（2）AF与⊙O相切，证明见解析

【解析】解:（1）证明：在△BDE和△FDA中，∵FB＝BD，AE＝ED，∴。

又∵∠BDE＝∠FDA，∴△BDE∽△FDA。

（2）直线AF与⊙O相切。证明如下：

连接OA，OB，OC，

∵AB＝AC，BO＝CO，OA＝OA，

∴△OAB≌△OAC（SSS）。∴∠OAB＝∠OAC。

∴AO是等腰三角形ABC顶角∠BAC的平分线。

∴AO⊥BC。

∵△BDE∽FDA，得∠EBD＝∠AFD，∴BE∥FA。

∵AO⊥BE，∴AO⊥FA。∴直线AF与⊙O相切。

（1）因为∠BDE公共，夹此角的两边BD：DF=ED：AD=2：3，由相似三角形的判定，可知△BDE∽△FDA。

（2）连接OA、OB、OC，证明△OAB≌OAC，得出AO⊥BC．再由△BDE∽FDA，得出∠EBD=∠AFD，则BE∥FA，从而AO⊥FA，得出直线AF与⊙O相切。