Question

已知，在Rt△OAB中，∠OAB=90°，∠BOA=30°，AB=2．若以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点B在第一象限内．将Rt△OAB沿OB折叠后，点A落在第一象限内的点C处．

（1）求点C的坐标；

（2）若抛物线经过C、A两点，求此抛物线的解析式；

（3）若上述抛物线的对称轴与OB交于点D，点P为线段DB上一动点，过P作y轴的平行线，交抛物线于点M，问：是否存在这样的点P，使得四边形CDPM为等腰梯形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）（，3）（2）（3）存在，（，）

【解析】【解析】
（1）过C作CH⊥OA于H，

∵在Rt△OAB中，∠OAB=90°，∠BOA=30°，AB=2，∴OA=。

∵将Rt△OAB沿OB折叠后，点A落在第一象限内的点C处，

∴OC=OA=，∠AOC=60°。

∴OH=，CH=3 。

∴C的坐标是（，3）。  

（2）∵抛物线经过C（，3）、A（，0）两点，

    ∴，解得。∴此抛物线的解析式为

（3）存在。

∵的顶点坐标为（，3），即为点C。

                 MP⊥x轴，设垂足为N，PN＝t，

∵∠BOA＝300，所以ON＝

  ∴P（）

   作PQ⊥CD，垂足为Q，ME⊥CD，垂足为E。

把代入得：。

                ∴ M（，），E（，）。

                同理：Q（，t），D（，1）。

                要使四边形CDPM为等腰梯形，只需CE＝QD，

                即，解得：，（舍去）。

                ∴ P点坐标为（，）。

                ∴ 存在满足条件的点P，使得四边形CDPM为等腰梯形，此时P点的坐为（，）。

（1）过C作CH⊥OA于H，根据折叠得到OC=OA=4，∠A0C=60°，求出OH和CH即可。

（2）把C（，3）、A（，0）代入得到方程组，求出方程组的解即可。

（3）如图，根据等腰梯形的判定，只要CE＝QD即可，据此列式求解。