Question

如图，在平面直角坐标系中，点0为坐标原点，直线y=2x+4交x轴于点A，交y轴于点B，四边形ABCO是平行四边形，直线y=－x+m经过点C，交x轴于点D．

（1）求m的值；

（2）点P(0，t)是线段OB上的一个动点(点P不与0，B两点重合)，过点P作x轴的平行线，分别交AB，0c，DC于点E，F，G．设线段EG的长为d，求d与t之间的函数关系式 (直接写出自变量t的取值范围)； （3）在（2）的条件下，点H是线段OB上一点，连接BG交OC于点M，当以OG为直径的圆经过点M时，恰好使∠BFH=∠ABO．求此时t的值及点H的坐标．

Answer

（1）m=6（2）d=－t+8（0＜t＜4）（3）t=2，H（0，）

【解析】【解析】
（1）如图，过点C作CK⊥x轴于K，

∵y=2x+4交x轴和y轴于A，B，

∴A（－2，0）B（0，4）。∴OA=2，OB=4。

∵四边形ABCO是平行四边形，∴BC=OA=2 。

又∵四边形BOKC是矩形，

∴OK=BC=2，CK=OB=4。∴C（2，4）。

将C（2，4）代入y=－x+m得，4=－2+m，解得m=6。

（2）如图，延长DC交y轴于N，分别过点E，G作x轴的垂线 垂足分别是R，Q，

则四边形ERQG、四边形POQG、四边形EROP是矩形。

∴ER=PO=CQ=1。

∵，即，∴AR=t。

∵y=－x+6交x轴和y轴于D，N，∴OD=ON=6。

∴∠ODN=45°。

∵，∴DQ=t。

又∵AD=AO+OD=2+6=8，∴EG=RQ=8－t－t=8－t。

∴d=－t+8（0＜t＜4）。

（3）如图，

∵四边形ABCO是平行四边形，

∴AB∥OC。∴∠ABO=∠BOC。

∵BP=4－t，

∴。

∴EP=。

由（2）d=－t+8，∴PG=d－EP=6－t。

∵以OG为直径的圆经过点M，∴∠OMG=90°，∠MFG=∠PFO。∴∠BGP=∠BOC。

∴。∴，解得t=2。

∵∠BFH=∠ABO=∠BOC，∠OBF=∠FBH，∴△BHF∽△BFO。

∴，即BF2=BH•BO。

∵OP=2，∴PF=1，BP=2。∴。

∴=BH×4。∴BH=。∴HO=4－。

∴H（0，）。

（1）根据直线y=2x+4求出点A、B的坐标，从而得到OA、OB的长度，再根据平行四边形的对边相等求出BC的长度，过点C作CK⊥x轴于K，从而得到四边形BOKC是矩形，根据矩形的对边相等求出KC的长度，从而得到点C的坐标，然后把点C的坐标代入直线即可求出m的值。

（2）延长DC交y轴于N分别过点E，G作x轴的垂线 垂足分别是R，Q则四边形ERQG、四边形POQG、四边形EROP是矩形，再利用∠BAO的正切值求出AR的长度，利用∠ODN的正切值求出DQ的长度，再利用AD的长度减去AR的长度，再减去DQ的长度，计算即可得解。

（3）根据平行四边形的对边平行可得AB∥OC，再根据平行线内错角相等求出∠ABO=∠BOC，用t表示出BP，再根据∠ABO与∠BOC的正切值相等列式求出EP的长度，再表示出PG的长度，然后根据直径所对的圆周角是直角可得∠OMC=90°，根据直角推出∠BGP=∠BOC，再利用∠BGP与∠BOC的正切值相等列式求解即可得到t的值；先根据加的关系求出∠OBF=∠FBH，再判定△BHF和△BFO相似，根据相似三角形对应边成比例可得，再根据t=2求出OP=2，PF=1，BP=2，利用勾股定理求出BF的长度，代入数据进行计算即可求出BH的值，然后求出HO的值，从而得到点H的坐标。