Question

已知：在△ABC中，∠ACB=900，点P是线段AC上一点，过点A作AB的垂线，交BP的延长线于点M，MN⊥AC于点N，PQ⊥AB于点Q，A0=MN．

（1）如图l，求证：PC=AN；

（2） 如图2，点E是MN上一点，连接EP并延长交BC于点K，点D是AB上一点，连接DK，∠DKE=∠ABC，EF⊥PM于点H，交BC延长线于点F，若NP=2，PC=3，CK：CF=2：3，求DQ的长．

Answer

（1）证明见解析（2）

【解析】【解析】
（1）证明：∵BA⊥AM，MN⊥AP，∴∠BAM=ANM=90°。

 ∴∠PAQ+∠MAN=∠MAN+∠AMN=90°，∴∠PAQ=∠AMN。

∵PQ⊥AB  MN⊥AC，∴∠PQA=∠ANM=90°。∴AQ=MN。∴△AQP≌△MNA（ASA）。

∴AN=PQ，AM=AP。∴∠AMB=∠APM。

∵∠APM=∠BPC∠BPC+∠PBC=90°，∠AMB+∠ABM=90°，∴∠ABM=∠PBC。

∵PQ⊥AB，PC⊥BC，∴PQ=PC（角平分线的性质）。∴PC=AN。

（2）∵NP=2  PC=3，∴由（1）知PC=AN=3。∴AP=NC=5，AC=8。

∴AM=AP=5。∴。

∵∠PAQ=∠AMN，∠ACB=∠ANM=90°，∴∠ABC=∠MAN。

∴。

∵，∴BC=6。

∵NE∥KC，∴∠PEN=∠PKC。

又∵∠ENP=∠KCP，∴△PNE∽△PCK。∴。

∵CK：CF=2：3，设CK=2k，则CF=3k。

∴，。

过N作NT∥EF交CF于T，

则四边形NTFE是平行四边形。

∴NE=TF=，∴CT=CF－TF=3k－。

∵EF⊥PM，∴∠BFH+∠HBF=90°=∠BPC+∠HBF。

∴∠BPC=∠BFH。

∵EF∥NT，∴∠NTC=∠BFH=∠BPC。

∴。

∴，。

∴CT= 。∴ 。∴CK=2×=3，BK=BC－CK=3。

∵∠PKC+∠DKC=∠ABC+∠BDK，∠DKE=∠ABC，∴∠BDK=∠PKC。

∴。∴tan∠BDK=1。

过K作KG⊥BD于G。

∵tan∠BDK=1，tan∠ABC=，∴设GK=4n，则BG=3n，GD=4n。

∴BK=5n=3，∴n=。∴BD=4n+3n=7n=。

∵，AQ=4，∴BQ=AB－AQ=6。

∴DQ=BQ－BD=6－= 。

（1）确定一对全等三角形△AQP≌△MNA，得到AN=PQ；然后推出BP为角平分线，利用角平分线的性质得到PC=PQ；从而得到PC=AN。

（2）由已知条件，求出线段KC的长度，从而确定△PKC是等腰直角三角形；然后在△BDK中，解直角三角形即可求得BD、DQ的长度。