Question

如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC的边OC、OA分别与x轴、y轴重合，AB∥OC，∠AOC=90°，∠BCO=45°，BC=12，点C的坐标为（－18，0）。

（1）求点B的坐标；

（2）若直线DE交梯形对角线BO于点D，交y轴于点E，且OE=4，OD=2BD，求直线DE的解析式；

（3）若点P是（2）中直线DE上的一个动点，在坐标平面内是否存在点Q，使以O、E、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。

Answer

（1）（－6，12）（2）y=－x+4（3）结论：存在。点Q的坐标为：（2 ，－2 ），（－2 ，2 ），（4，4），（－2，2）

【解析】【解析】
（1）过点B作BF⊥x轴于F，

在Rt△BCF中

∵∠BCO=45°，BC=12，∴CF=BF=12 。  

∵C 的坐标为（－18，0），∴AB=OF=6。

∴点B的坐标为（－6，12）。

（2）过点D作DG⊥y轴于点G，

∵OD=2BD，∴OD=OB。

∵AB∥DG，∴△ODG∽△OBA 。     

∵，AB=6，OA=12，∴DG=4，OG=8。∴D（－4，8），E（0，4）。

设直线DE解析式为y=kx+b（k≠0）

∴ ，解得。∴直线DE解析式为y=－x+4。

（3）结论：存在。

点Q的坐标为：（2 ，－2 ），（－2 ，2 ），（4，4），（－2，2）。

（1）构造等腰直角三角形BCF，求出BF、CF的长度，即可求出B点坐标。

（2）已知E点坐标，欲求直线DE的解析式，需要求出D点的坐标．构造△ODG∽△OBA，由线段比例关系求出D点坐标，从而可以求出直线DE的解析式。

（3）如图所示，符合题意的点Q有4个：

设直线y=－x+4分别与x轴、y轴交于点E、点F，

则E（0，4），F（4，0），OE=OF=4，EF=4。

①菱形OEP1Q1，此时OE为菱形一边。

则有P1E=P1Q1=OE=4，P1F=EF－P1E=4－4。

易知△P1NF为等腰直角三角形，

∴P1N=NF=P1F=4－2。

设P1Q1交x轴于点N，则NQ1=P1Q1－P1N=4－（4－2）=2。

又ON=OF－NF=2，∴Q1（2 ，－2）。

②菱形OEP2Q2，此时OE为菱形一边。此时Q2与Q1关于原点对称，∴Q2（－2，2）。

③菱形OEQ3P3，此时OE为菱形一边。

此时P3与点F重合，菱形OEQ3P3为正方形，∴Q3（4，4）。

④菱形OP4EQ4，此时OE为菱形对角线。

由菱形性质可知，P4Q4为OE的垂直平分线，

由OE=4，得P4纵坐标为2，代入直线解析式y=－x+4得横坐标为2，则P4（2，2）。

由菱形性质可知，P4、Q4关于OE或x轴对称，∴Q4（－2，2）。

综上所述，存在点Q，使以O、E、P、Q为顶点的四边形是菱形，点Q的坐标为：

Q1（2，－2），Q2（－2，2），Q3（4，4），Q4（－2，2）。