Question

Rt△ABC中，∠A=90⁰，BC=4,有一个内角为60⁰，点P是直线AB上不同于A、B的一点，且∠ACP=30⁰，则PB的长为        ．

Answer

4或或。

【解析】分两种情况考虑：

当∠ABC=60°时，如图所示：

∵∠CAB=90°，∴∠BCA=30°。

又∵∠PCA=30°，∴∠PCB=∠PCA+∠ACB=60°。

又∵∠ABC=60°，∴△PCB为等边三角形。

又∵BC=4，∴PB=4。

当∠ABC=30°时，

（i）当P在A的右边时，如图所示：

∵∠PCA=30°，∠ACB=60°，∴∠PCB=90°。

又∠B=30°，BC=4，

∴，即 。

（ii）当P在A的左边时，如图所示：

∵∠PCA=30°，∠ACB=60°，∴∠BCP=30°。

又∠B=30°，∴∠BCP=∠B。∴CP=BP。

在Rt△ABC中，∠B=30°，BC=4，∴AC=BC=2。

根据勾股定理得：，

∴AP=AB－PB=－PB。

在Rt△APC中，根据勾股定理得：AC2＋AP2=CP2=BP2，即22+（－PB）2=BP2，

解得：BP=。

综上所述，BP的长为4或或。