Question

如图，在平面直角坐标系中，已知Rt△AOB的两条直角边0A、08分别在y轴和x轴上，并且OA、OB的长分别是方程x²—7x+12=0的两根(OA<0B)，动点P从点A开始在线段AO上以每秒l个单位长度的速度向点O运动；同时，动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A运动，设点P、Q运动的时间为t秒．

(1)求A、B两点的坐标。

(2)求当t为何值时，△APQ与△AOB相似，并直接写出此时点Q的坐标．

(3)当t=2时，在坐标平面内，是否存在点M，使以A、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形?若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）A(0，3)， B(4，0)（2）t= ，Q（）；t= ，Q（）（3）存在。M1（）， M2（），M3（）

【解析】【解析】
（1）由x2－7 x +12=0解得x1=3，x2=4。

           ∵OA＜OB ，∴OA=3 , OB=4。∴A(0，3)， B(4，0)。

 (2)由OA=3 , OB=4，根据勾股定理，得AB=5。

由题意得，AP=t,  AQ=5－2t 。分两种情况讨论：

①当∠APQ=∠AOB时，如图1，

△APQ∽△AOB。∴，即 解得 t= 。∴Q（）。

②当∠AQP=∠AOB时，如图2，

△APQ∽△ABO。∴，即 解得 t= 。∴Q（）。

（3）存在。M1（）， M2（），M3（）。

（1）解出一元二次方程，结合OA＜OB即可求出A、B两点的坐标。

       （2）分∠APQ=∠AOB和∠AQP=∠AOB两种情况讨论即可。

（3）当t=2时，如图，

OP=2，BQ=4，∴P（0，1），Q（）。

 若以A、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形，则

①当AQ为对角线时，点M1的横坐标与点Q的横坐标相同，纵坐标为。∴M1（）。

②当PQ为对角线时，点M2的横坐标与点Q的横坐标相同，纵坐标为。∴M2（）。

③当AP为对角线时，点Q、M3关于AP的中点对称。

由A(0，3)，P（0，1）得AP的中点坐标为（0，2）。

由Q（）得M3的横坐标为，纵坐标为。∴M3（）。

综上所述，若以A、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形，则M点的坐标为

（）或（）或（）。