Question

如图,是的角平分线, 延长交的外接圆于点,过三点的圆交的延长线于点，连结．

(1)求证：∽；

(2) 若, 求的长；

(3) 若∥, 试判断的形状，并说明理由．

Answer

（1）证明：连结两圆的相交弦

在圆中，，

在圆中，，

∴，

又因为是角平分线，得∠BAE=∠CAE，       

∴，

∵，

∴∽．             

（2）∵∽，

∴ ，              

∴，

∴．              

（3）证明：根据同弧上的圆周角相等，

得到：，，

∴，

∵=180°，

∴=180°，

又=180，

∴ ．

∵∥，，

又∵，

∴∠AEB =∠ABE ，

∴为等腰三角形．

【解析】（1）可通过证两组对应角相等来证两三角形相似．

（2）根据（1）中得出的相似三角形即可得出AE，DE，EF这三条线段的比例关系，有了AD，DE的长，即可求出EF的值．

（3）可通过证角的关系来得出三角形的形状．