Question

在平面直角坐标系中,直线经过点A（,4）,且与轴相交于点C.点B在轴上,O为为坐标原点,且.记的面积为S.

（1）求m的取值范围;

（2）求S关于m的函数关系式;

（3）设点B在轴的正半轴上,当S取得最大值时,将沿AC折叠得到,求点的坐标.

Answer

（1）（2），（3）（）

【解析】⑴∵直线经过点A（,4）,∴,

∴.∵,∴.解得.

    ⑵∵A的坐标是（,4）,∴OA=.

又∵,∴OB=7.∴B点的坐标为(0,7)或(0,-7).

直线与轴的交点为C(0,m).

①                   当点B的坐标是(0,7)时,由于C(0,m), ,故BC=7- m.

∴.

②当点B的坐标是(0,-7)时,由于C(0,m), ,故BC=7+m.

∴.

⑶当m=2时,一次函数取得最大值,这时C(0,2).

如图,分别过点A、B′作轴的垂线AD、B′E,垂足为D、E.则AD=,CD=4-2=2.在Rt中,tan∠ACD=,∴∠ACD=60°.由题意,得∠AC B′=∠ACD=60°,C B′=BC=7-2=5,∴∠B′CE=180°-∠B′CB=60°.

在Rt中,∠B′CE=60°,C B′=5,∴CE=,B′E=.故OE=CE-OC=.

∴点B′的的坐标为（）

（1）根据点在直线上的意义可知 ，k=1-m．因为，即．解得2≤m≤6．

（2）根据题意易得：OA=，OB=7．所以B点的坐标为（0，7）或（0，-7）．直线与y轴的交点为C（0，m）．

当点B的坐标是（0，7）时，由于C（0，m），2≤m≤6，故BC=7-m．所以S= （7-m）；

当点B的坐标是（0，-7）时，由于C（0，m），2≤m≤6，故BC=7+m．所以S=（7+m）．

（3）分别过点A、B′作y轴的垂线AD、B′E，垂足为D、E．

利用Rt△ACD中的关系：tan∠ACD= ，得∠ACD=60°，∠ACB′=∠ACD=60°，CB′=BC=7-2=5，所以∠B′CE=180°-∠B′CB=60°

再利用Rt△B'CE中的线段之间的关系可求得，CE=，B′E= ．故OE=CE-OC=．所以点B′的坐标为（ ,- ）．