Question

已知：如图，△ABC中，AC＝BC，以BC为直径的⊙O交AB于点D，过点D作DE⊥AC于点E，交BC的延长线于点F．

求证：（1）AD＝BD；

（2）DF是⊙O的切线．

Answer

（1）证法一：连结CD，     

∵BC为⊙O的直径

       ∴CD⊥AB                              

∵AC＝BC

∴AD＝BD．              

证法二：连结CD，    

∵BC为⊙O的直径

∴∠ADC＝∠BDC＝90°

∵AC＝BC，CD＝CD

∴△ACD≌△BCD      

∴AD＝BD                       

（2）证法一：连结OD，      

∵AD＝BD，OB＝OC

∴OD∥AC               

∵DE⊥AC 

    ∴DF⊥OD                       

∴DF是⊙O的切线．    

证法二：连结OD，  

∵OB=OD

∴∠BDO＝∠B            

∵∠B＝∠A

∴∠BDO=∠A       

∵∠A+∠ADE＝90°

∴∠BDO＋∠ADE＝90°

∴∠ODF=90°           

∴DF是⊙O的切线．   

【解析】（1）由于AC=AB，如果连接CD，那么只要证明出CD⊥AB，根据等腰三角形三线合一的特点，我们就可以得出AD=BD，由于BC是圆的直径，那么CD⊥AB，由此可证得．

（2）连接OD，再证明OD⊥DE即可．