Question

已知：如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3厘米，CB＝4厘米．两个动点P、Q分别从A、C两点同时按顺时针方向沿△ABC的边运动．当点Q运动到点A时，P、Q两点运动即停止．点P、Q的运动速度分别为1厘米/秒、2厘米/秒，设点P运动时间为（秒）．

（1）当时间为何值时，以P、C、Q三点为顶点的三角形的面积（图中的阴影部分）等于2厘米²；

（2）当点P、Q运动时，阴影部分的形状随之变化．设PQ与△ABC围成阴影部分面积为S（厘米²），求出S与时间的函数关系式，并指出自变量的取值范围；

（3）点P、Q在运动的过程中，阴影部分面积S有最大值吗？若有，请求出最大值；若没有，请说明理由．

Answer

（1）S△PCQ＝PC·CQ＝＝＝2，      

解得 ＝1，＝2                         

∴当时间为1秒或2秒时，S△PCQ＝2厘米2；     

（2）①当0＜≤2时，S＝＝；

②当2＜≤3时， S＝＝；

③当3＜≤4.5时，S＝＝；

（3）有；                                                             

①在0＜≤2时，当＝，S有最大值，S1＝；  

    ②在2＜≤3时，当＝3，S有最大值，S2＝；       

    ③在3＜≤4.5时，当＝，S有最大值，S3＝；

∵S1＜S2＜S3 ∴＝时，S有最大值，S最大值＝． 

【解析】（1）由于PC=3﹣t，CQ=2t，∠C=90°，可表示S△PCQ，从而求出t的值；

（2）根据运动状态，分三种可能情况：①当0＜t≤2时，②当2＜t≤3时，③当3＜t≤4.5时，分别表示阴影部分面积，在②中，S=S△ABC﹣S△APQ，由，∠C=90°，AC=3厘米，CB=4厘米，用勾股定理可求AB=5厘米，作AB边上的高PH，利用相似比表示PH，再表示面积；

（3）用（2）的结论，分别求出每一种情况下的最大值（注意自变量取值范围），再比较，求出整个过程中的最大值．