Question

如图，已知为等边三角形，、、分别在边、、上，且也是等边三角形．

（1）除已知相等的边以外，请你猜想还有哪些相等线段，并证明你的猜想是正确的；

（2）你所证明相等的线段，可以通过怎样的变化相互得到？写出变化过程．

Answer

（1）AE=BF=CD，AF=BD=CE，证明见解析（2）线段AE、BF、CD它们绕△ABC的内心按顺时针（或按逆时针）方向旋转120°，可互相得到，线段AF、BD、CE它们绕△ABC的内心按顺时针（或按逆时针）方向旋转120°,可互相得到，变化过程见解析

【解析】【解析】
（1）图中还有相等的线段是：AE=BF=CD，AF=BD=CE          2分

事实上，∵△ABC与△DEF都是等边三角形，

        ∴∠A=∠B=∠C=60°，∠EDF=∠DEF=∠EFD=60°,DE=EF=FD          3分

        又∵∠CED+∠AEF=120°，∠CDE+∠CED=120°

          ∴∠AEF=∠CDE，同理，得∠CDE=∠BFD，                       4分

          ∴△AEF≌△BFD≌△CDE（AAS），

          所以AE=BF=CD，AF=BD=CE                                     5分

（2）线段AE、BF、CD它们绕△ABC的内心按顺时针（或按逆时针）方向旋转120°，可互相得到，线段AF、BD、CE它们绕△ABC的内心按顺时针（或按逆时针）方向旋转120°,可互相得到。                                                            7分

由已知条件，根据等边三角形的性质推出△AEF≌△BFD≌△CDE．从而推出AE=BF=CD，AF=BD=CE．