Question

已知：ABCD的对角线交点为O，点E、F分别在边AB、CD上，分别沿DE、BF折叠四边形ABCD, A、C两点恰好都落在O点处，且四边形DEBF为菱形（如图）．

⑴求证：四边形ABCD是矩形；

⑵在四边形ABCD中，求的值．

Answer

（1）证明：连结OE

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴DO=OB，

∵四边形DEBF是菱形，

∴DE=BE，

∴EO⊥BD

∴∠DOE= 90°

即∠DAE= 90°

又四边形ABCD是平行四边形，

∴四边形ABCD是矩形

（2）【解析】
∵四边形DEBF是菱形

∴∠FDB=∠EDB

又由题意知∠EDB=∠EDA

由（1）知四边形ABCD是矩形

∴∠ADF=90°，即∠FDB+∠EDB+∠ADE=90°

则∠ADB= 60°

∴在Rt△ADB中，有AD∶AB=1∶

即

【解析】（1）根据矩形的判定定理，先证DE=BE，再证∠DOE=90°，则可证．

（2）根据已知条件和（1）的结论，先求得AD：AB，即可得到的值．