Question

如图，已知直线y=x+4与x轴、y轴分别相交于点A、B，点M是线段AB(中点除外)上的动点，以点M为圆心，OM的长为半径作圆，与x轴、y轴分别相交于点C、D．

（1）设点M的横坐标为a，则点C的坐标为          ，点D的坐标为           （用含有a的代数式表示）；

（2）求证：AC=BD；

（3）若过点D作直线AB的垂线，垂足为E．

①求证： AB=2ME；

②是否存在点M，使得AM=BE？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

⑴C（2a，0），D（0，2a+8）

⑵方法一：由题意得：A（－4，0），B（0，4）

－4＜a＜0，且a≠2，

①  当2a+8＜4，即－4＜a＜－2时

AC=－4－2a，BD=4－（2a+8）=－4－2a

∴AC=BD

②  当2a+8＞4，即－2＜a＜0时

同理可证：AC=BD

综上：AC=BD

方法二：①当点D在B、O之间时，

连CD，∵∠COD＝90°

∴圆心M在CD上，

过点D作DF∥AB，

∵点M为CD中点，

∴MA为△CDF中位线，

∴AC＝AF，

又DF∥AB，

∴，

而BO＝AO   

∴AF=BD

∴AC＝BD

②点D在点B上方时，同理可证：AC=BD

综上：AC=BD

⑶方法一

①A(－4,0)，B(0，4)，D(0，2a+8)，M(a，a+4)，△BDE、△ABO均为等腰直角三角形，

E的纵坐标为a+6，∴ME=(yE－yM)==2

AB=4

∴AB=2ME

②AM=( yM－yA)＝(a+4)，BE=|yE－yB|=|a+2|，

∵AM=BE

又－4＜a＜0，且a≠2，

10  当－4＜a＜－2时

(a+4)= －(a+2)

∴a=－3

M（－3，1）

20  当－2＜a＜0时

(a+4)= (a+2)

∴a不存在

方法二：

①当点D在B、O之间时，作MP⊥x轴于点P、MQ⊥y轴于点Q，取AB中点N，

在Rt△MNO与Rt△DEM中，MO＝MD

∠MON＝450－∠MOP

∠EMD＝450－∠DMQ＝450－∠OMQ＝450－∠MOP

∴∠MON＝∠EMD

∴Rt△MNO≌Rt△DEM

∴MN＝ED＝EB

∴AB＝2NB＝2（NE＋EB）＝2（NE＋MN）＝2ME

当点D在点B上方时，同理可证

②当点D在B、O之间时，

由①得MN=EB，

∴AM=NE 

若AM=BE，则AM=MN=NE=EB=AB=

∴M（－3，1）

点D在点B上方时，不存在。

【解析】（1）直接利用垂径定理可知C（2a，0），D（0，2a+8）；

（2）本题可用直角坐标系中两点间的距离公式分别求算出AC=-4-2a，BD=4-（2a+8）=-4-2a，所以AC=BD；

（3）①根据A（-4，0），B（0，4），D（0，2a+8），M（a，a+4），可知△BDE、△ABO均为等腰直角三角形，E的纵坐标为a+6，可求得，，所以AB=2ME；

②AM=( －)＝(a+4)，BE=||=|a+2|，AM=BE，结合条件-4＜a＜0，且a≠2，a=-3，可知M（-3，1）；当-2＜a＜0时，a不存在。