Question

如图一，平面直角坐标系中有一张矩形纸片OABC，O为坐标原点，A点坐标为(10，0)，C点坐标为(0，6)，D是BC边上的动点(与点B，C不重合)，现将△COD沿OD翻折，得到△FOD；再在AB边上选取适当的点E，将△BDE沿DE翻折，得到△GDE，并使直线DG、DF重合。

(1)如图二，若翻折后点F落在OA边上，求直线DE的函数关系式；

    (2)设D(a，6)，E(10，b)，求b关于a的函数关系式，并求b的最小值；

    (3)一般地，请你猜想直线DE与抛物线的公共点的个数，在图二的情形中通过计算验证你的猜想；如果直线DE与抛物线始终有公共点，请在图一中作出这样的公共点。

     

Answer

（1）y=-x+12（2）当a=5时，b最小值=（3）见解析

【解析】（1）y=-x+12。

   （2）当a=5时，b最小值=

   （3）猜想：直线DE与抛物线

证明：由（1）可知，DE所在直线为y=-x+12。

      代入抛物线，得

     化简得x2-24x+144=0，所以△=0。

     所以直线DE与抛物线

作法一：延长OF交DE于点H。

作法二：在DB上取点M，使DM=CD，过M作MH⊥BC，交DE于点H。

（1）当F落在OA上时，四边形OCDF和四边形DGEB都是正方形，因此CD=DF=OC=6，即D点的坐标为（6，6），而GF=DF-DG=DF-（BC-CD）=6-（10-6）=2，因此E点的坐标为（10，2）．然后可用待定系数法求出直线DE的解析式．

（2）根据D、E的坐标可知：CD=a，BE=6-b，BD=BC-CD=10-a，可根据相似三角形△OCD和△DBE得出的关于OC、CD、DB、BE的比例关系式求出b、a的函数关系式．然后可根据函数的性质得出b的最小值及对应的a的值．

（3）可将（1）中得出的直线DE的解析式联立抛物线的解析式，看得出的一元二次方程的根的判别式△的值与0的关系即可得出交点的个数．