Question

如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点为，B（5,0），M为等腰梯形OBCD底边OB上一点，OD＝BC＝2，∠DMC＝∠DOB＝60°．

（1）求直线CB的解析式；

（2）求点M的坐标；

（3）∠DMC绕点M顺时针旋转α　（30°＜α＜60°）后，得到∠D₁MC₁（点D₁，C₁依次与点D，C对应），射线MD₁交直线DC于点E，射线MC1交直线CB于点F　，设DE＝m，BF＝n .求m与　n的函数关系式．

Answer

（1）y=（2） M （1，0）或（4，0） （3）m=

【解析】（1）BC解析式：y=  (2) 略证：△ODM∽△BMC 设OM=x，2×2＝x（5－x）， x＝1或4， M （1，0）或（4，0）

（3）当M （1，0）时，△DME∽△CMF，

CF＝2＋n，DE＝m，∴2＋n＝2m ，即m＝1＋

当M(4 ，0) 时  ∴m＝2（2－n），即m＝4－2n

（1）由已知求得C点坐标，根据待定系数法求得直线CB的解析式

（2）先证明△ODM∽△BMC．得 ，所以OD•BC=BM•OM．设OM=x，则BM=5-x，得2×2=x（5-x），解得x的值，即可求得M点坐标；

（3）（Ⅰ）当M点坐标为（1，0）时，如图2，OM=1，BM=4．先求得DME∽△CMF，所以 ，可得CF=2DE．所以2-n=2m，即m=．（Ⅱ）当M点坐标为（4，0）时，OM=4，由OM＜3，得出不合题意，舍去．