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如图,在平面直角坐标系中,以坐标原点O为圆心,2为半径画⊙O,P是⊙O上一动点,...

如图,在平面直角坐标系中,以坐标原点O为圆心,2为半径画⊙O,P是⊙O上一动点,且P在第一象限内,过点P作⊙O的切线与6ec8aac122bd4f6e轴相交于点A,与6ec8aac122bd4f6e轴相交于点B。

(1)点P在运动时,线段AB的长度页在发生变化,请写出线段AB长度的最小值,并说明理由;

(2)在⊙O上是否存在一点Q,使得以Q、O、A、P为顶点的四边形时平行四边形?若存在,请求出Q点的坐标;若不存在,请说明理由。

6ec8aac122bd4f6e

 

(1)线段AB长度的最小值为4 理由如下: 连接OP因为AB切⊙O于P,所以OP⊥AB 取AB的中点C,则               …………3分 当时,OC最短, 即AB最短,此时                     …………4分 (2)设存在符合条件的点Q, 如图①, 设四边形APOQ为平行四边形, 因为四边形APOQ为矩形 又因为 所以四边形APOQ为正方形 所以, 在Rt△OQA中,根据, 得Q点坐标为()。          …………7分 如图②,设四边形APQO为平行四边形 因为OQ∥PA,, 所以, 又因为 所以, 因为 PQ∥OA, 所以 轴。 设轴于点H, 在Rt△OHQ中,根据, 得Q点坐标为() 所以符合条件的点Q的坐标为()或()。 【解析】(1)如图,设AB的中点为C,连接OP,由于AB是圆的切线,故△OPC是直角三角形,有OP<OC,所以当OC与OP重合时,OC最短; (2)分两种情况:如图(1),当四边形APOQ是正方形时,△OPA,△OAQ都是等腰直角三角形,可求得点Q的坐标为(,﹣),如图(2),可求得∠QOP=∠OPA=90°,由于OP=OQ,故△OPQ是等腰直角三角形,可求得点Q的坐标为(﹣,).
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