Question

已知圆P的圆心在反比例函数图象上，并与x轴相交于A、B两点． 且始终与y轴相切于定点C(0，1)．

（1）求经过A、B、C三点的二次函数图象的解析式;

（2）若二次函数图象的顶点为D，问当k为何值时，四边形ADBP为菱形．

Answer

(1) y=+1－（2）

【解析】【解析】
(1)连结PC、PA、PB，过P点作PH⊥x轴，垂足为H． …………………1分

∵⊙P与轴相切于点C (0，1)，

∴PC⊥轴．

∵P点在反比例函数的图象上，

∴P点坐标为（k，1）． …………………2分

∴PA=PC=k．

在Rt△APH中，AH==，

∴OA=OH—AH=k－．

∴A（k－，0）． …………………………3分

∵由⊙P交x轴于A、B两点，且PH⊥AB，由垂径定理可知， PH垂直平分AB．

∴OB=OA+2AH= k－+2=k+，

∴B(k+，0)．    ……………………………………………………………………4分

故过A、B两点的抛物线的对称轴为PH所在的直线解析式为x=k．

可设该抛物线解析式为y=a+h． …………………………………………………5分

又抛物线过C(0，1)， B(k+，0)， 得：                 

解得a=1，h=1－．       …………………7分

∴抛物线解析式为y=+1－．……8分

（2）由(1)知抛物线顶点D坐标为（k， 1－）

∴DH=－1．

若四边形ADBP为菱形．则必有PH=DH ．………………………………………………10分

∵PH=1，∴－1=1．          

又∵k＞1，∴k=             …………………………………………………………11分

∴当k取时，PD与AB互相垂直平分，则四边形ADBP为菱形． …………………12分

（1）连接PC，过P点作PH⊥x轴，垂足为H，根据圆的切线性质，可知PC⊥轴，由勾股定理及垂径定理，C (0，1)可得到A，B即可

（2）根据菱形的对角线互相平分，则有，得到关于的方程即可