Question

如图，已知平面直角坐标系中，点，为两动点，其中，连结，．

（1）求证：；

（2）当时，抛物线经过两点且以轴为对称轴，求抛物线对应的二次函数的关系式；

（3）在（2）的条件下，设直线交轴于点，过点作直线交抛物线于两点，问是否存在直线，使？若存在，求出直线对应的函数关系式；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）作轴于点，轴于点，

    点坐标分别为，，

又，易证，．

（2）由（1）得，，又，，

即.又

坐标为坐标为，

易得抛物线解析式为．

（3）直线为，且与轴交于点，

假设存在直线交抛物线于两点，且使，如图所示，

则有，作轴于点， 轴于点，

在抛物线上，设坐标为，

则，易证，，

，，

点坐标为点在抛物线上，

，解得，坐标为，

坐标为，

易得直线为．

根据抛物线的对称性可得直线另解为．

【解析】（1）作BC⊥x轴于C点，AD⊥x轴于D点.因为，可得∠BOC+∠AOD=90°.因为BC⊥x，所以易证∠∠AOD=∠OBC,从而得△CBO∽△DOA，利用线段比求出mn．

（2）由（1）得m与BO的关系式，根据勾股定理得BO与n的关系式，从而建立m与n的一个关系式，然后利用（1）中mn=-6，求得m、n的值．然后得A，B的坐标以及抛物线解析式．

（3）利用待定系数法求出直线AB解析式，从而求出F点的坐标.过作PM⊥y轴于M点，QN⊥y轴于N点，根据同底等高的三角形面积比等于高的比得PM:QN=1:3.易证△PMF∽△QNF，设坐标为，易得QN、NF、ON的长，进而表示出点Q的坐标.因为点Q在二次函数上，所以求得t的值.从而得直线的解析式，根据对称性得到第二条直线的解析式.