Question

某学校七年级数学兴趣小组组织一次数学活动．在一座有三道环形路的数字迷宫的每个进口处都标记着一个数，要求进入者把自己当做数“1”，进入时必须乘进口处的数，并将结果带到下一个进口，依次累乘下去，在通过最后一个进口时，只有乘积是5的倍数，才可以进入迷宫中心，现让一名5岁小朋友小军从最外环任一个进口进入．

（1）小军能进入迷宫中心的概率是多少？请画出树状图进行说明．

（2）小组两位组员小张和小李商量做一个小游戏，以猜测小军进迷宫的结果比胜负．游戏规则规完：小军如果能进入迷宫中心，小张和小李各得1分；小军如果不能进入迷宫中心，则他在最后一个进口处所得乘积是奇数时，小张得3分，所得乘积是偶数时，小李得3分，你认为这个游戏公平吗？如果公平，请说明理由；如果不公平，请在第二道环进口处的两个数中改变其中一个数使游戏公平．

（3）在（2）的游戏规则下，让小军从最外环进口任意进入10次，最终小张和小李的总得分之和不超过28分，请问小军至少几次进入迷宫中心？

Answer

（1），图略（2）不公平，可将第二道环上的数4改为任一奇数（3）2次

【解析】（1）树状图略···························· 2分

．························· 3分

（2）不公平，理由如下：

法一：由树状图可知，，

，．

所以不公平．

法二：从（1）中树状图得知，不是5的倍数时，

结果是奇数的有2种情况，而结果是偶数的有6种情况，显然小李胜面大，所以不公平．

法三：由于积是5的倍数时两人得分相同，所以可直接比较积不是5的倍数时，奇数、偶数的概率．

，，

所以不公平．································ 6分

可将第二道环上的数4改为任一奇数．····················· 7分

（3）设小军次进入迷宫中心，

则，··························· 9分

解之得．

所以小军至少2次进入迷宫中心．  10分

游戏是否公平，关键要看是否游戏双方赢的机会是否相等，即判断双方取胜的概率是否相等，或转化为在总情况明确的情况下，判断双方取胜所包含的情况数目是否相等．