Question

如图①，中，，．它的顶点的坐标为，顶点的坐标为，，点从点出发，沿的方向匀速运动，同时点从点出发，沿轴正方向以相同速度运动，当点到达点时，两点同时停止运动，设运动的时间为秒．

（1）求的度数．

（2）当点在上运动时，的面积（平方单位）与时间（秒）之间的函数图象为抛物线的一部分，（如图②），求点的运动速度．

（3）求（2）中面积与时间之间的函数关系式及面积取最大值时点的坐标．

（4）如果点保持（2）中的速度不变，那么点沿边运动时，的大小随着时间的增大而增大；沿着边运动时，的大小随着时间的增大而减小，当点沿这两边运动时，使的点有几个？请说明理由．

Answer

（1）（2）点的运动速度为2个单位/秒（3），（4）有2个，理由见解析

【解析】（1）．························· 2分

（2）点的运动速度为2个单位/秒．····················· 4分

（3）（）

··························· 6分

．

当时，有最大值为，

此时．····························· 9分

（4）当点沿这两边运动时，的点有2个．·········· 11分

①当点与点重合时，，

当点运动到与点重合时，的长是12单位长度，

作交轴于点，作轴于点，

由得：，

所以，从而．

所以当点在边上运动时，的点有1个．·········· 13分

②同理当点在边上运动时，

可算得．

而构成直角时交轴于，，

所以，从而的点也有1个．

所以当点沿这两边运动时，的点有2个．··········· 14分

（1）已知了AB的长和B点的坐标，那么sin∠BAO= ，因此∠BAO=60°

（2）由函数的图形可知：当t=5时，三角形OPQ的面积是30，如果设点P的速度为a，那么AP=5a，那么P到AC的距离就是 ，也就是P到OQ的距离为10-，OQ=QD+OD=5a+2．因此（5a+2）×（10-）×=30，解得a=1.6，a=2．由于抛物线的解析式为S=（at+2）（10- ）× ，经化简后可得出对称轴应该是t=，当a=1.6时，对称轴t=5.625显然大于5，与给出的抛物线的图形不相符，因此a=2是本题的唯一的解．也就是说P的速度是2单位/秒．

（3）根据（2）的求解过程即可得出S的解析式．然后根据函数的解析式来得出函数的最大值及此时对应的t的取值，然后根据P，Q的速度和t的取值，可求出P点的坐标．

（4）本题其实主要是看P在B点和C点时∠OPQ的度数范围，当∠OBQ的度数大于90°，∠OCQ的度数小于90°时，那么在AB，BC上分别有一个符合要求的点P，如果∠OBQ的度数小于90°时那么就没有符合要求的点，如果∠OBQ=90°，那么符合要求的点只有一个．当P，B重合时，作∠OPM=90°交y轴于点M，作PH⊥y轴于点H，然后比较OM和OQ的长即可得出∠OPQ的大致范围，根据相似三角形OPH和OPM不难得出OM的长，然后比较OM，OQ的大小，如果OQ＞OM则说明∠OPQ＞90°，反之则小于90°，用同样的方法可得出当P与C重合时∠OPQ的大致取值范围，然后根据上面的分析即可判定出有几个符合要求的点．