Question

如图1，点将线段分成两部分，如果，那么称点为线段的黄金分割点．

某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线将一个面积为的图形分成两部分，这两部分的面积分别为，，如果，那么称直线为该图形的黄金分割线．

（1）研究小组猜想：在中，若点为边上的黄金分割点（如图2），则直线是的黄金分割线．你认为对吗？为什么？

（2）请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？

（3）研究小组在进一步探究中发现：过点任作一条直线交于点，再过点作直线，交于点，连接（如图3），则直线也是的黄金分割线．

请你说明理由．

（4）如图4，点是的边的黄金分割点，过点作，交于点，显然直线是的黄金分割线．请你画一条的黄金分割线，使它不经过各边黄金分割点．

Answer

（1）对，理由见解析（2）不可能（3）理由见解析（4）见解析

【解析】（1）直线是的黄金分割线．理由如下：

设的边上的高为．

，，，

所以，，．··············· 2分

又因为点为边的黄金分割点，所以有．因此．

所以，直线是的黄金分割线．·············· 4分

（2）因为三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，此时，即

，所以三角形的中线不可能是该三角形的黄金分割线．········ 6分

（3）因为，所以和的公共边上的高也相等，

所以有．························· 7分

设直线与交于点．所以．

所以

，．

又因为，所以．··········· 9分

因此，直线也是的黄金分割线．··············· 10分

（4）画法不惟一，现提供两种画法；·················· 12分

画法一：如答图1，取的中点，再过点作一条直线分别交，于，点，则直线就是的黄金分割线．

画法二：如答图2，在上取一点，连接，再过点作交于点，连接，则直线就是的黄金分割线．

（1）由于是同高，而点为边的黄金分割点，则，所以，故直线是的黄金分割线

      （2）只需判断它们面积比是否相等，若相等则中线是三角形的黄金分割线，否则不是

      （3）根据平行线间的距离相等，则，通过图形面积的转化，直线分三角形的图形面积有，故直线也是的黄金分割线

      （4）画法不惟一，只需分成图形面积比相等即可