Question

如图，在直角坐标系中，矩形的顶点与坐标原点重合，顶点在坐标轴上，，．动点从点出发，以的速度沿轴匀速向点运动，到达点即停止．设点运动的时间为．

（1）过点作对角线的垂线，垂足为点．求的长与时间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；

（2）在点运动过程中，当点关于直线的对称点恰好落在对角线上时，求此时直线的函数解析式；

（3）探索：以三点为顶点的的面积能否达到矩形面积的？请说明理由．

Answer

（1），（2）（3）不能，理由见解析

【解析】【解析】
（1）在矩形中，

，，

．……………………1分

，．

，即，．……3分

当点运动到点时即停止运动，此时的最大值为．

所以，的取值范围是．················ 4分

（2）当点关于直线的对称点恰好在对角线上时，三点应在一条直线上（如答图2）．……………………5分

，．

，

．

．点的坐标为．…………6分

设直线的函数解析式为．将点和点代入解析式，得解这个方程组，得

此时直线的函数解析式是．········· 8分

（3）由（2）知，当时，三点在一条直线上，此时点 不构成三角形．

故分两种情况：

（i）当时，点位于的内部（如答图3）．

过点作，垂足为点，由

可得．

．······· 10分

若，则应有，即．

此时，，所以该方程无实数根．

所以，当时，以为顶点的的面积不能达到矩形面积的．    11分

（ii）当时，点位于的外部．（如答图4）

此时．········ 12分

若，则应有，即．

解这个方程，得，（舍去）．

由于，．

而此时，所以也不符合题意，故舍去．

所以，当时，以为顶点的的面积也不能达到矩形面积的．

综上所述，以为顶点的的面积不能达到矩形面积的．

（1）找出三角形相似的条件，利用相似三角形的对应边成比例，求出边界值即可

       （2）用待定系数法，找出直线上两点坐标即可，由于，则，利用相似三角形的对应边成比例，求出点P的坐标

          （3）由于点是动点，以为顶点的的面积与点的位置有关，需分情况讨论，当时，找不到的值使得，当时，三点在一条直线上，则点不构成三角形，当时，也找不到的值使得，因此以为顶点的的面积不能达到矩形面积的