Question

如图，四边形是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，点在轴上，点在轴上，将边折叠，使点落在边的点处．已知折叠，且．

（1）判断与是否相似？请说明理由；

（2）求直线与轴交点的坐标；

（3）是否存在过点的直线，使直线、直线与轴所围成的三角形和直线、直线与轴所围成的三角形相似？如果存在，请直接写出其解析式并画出相应的直线；如果不存在，请说明理由．

Answer

【解析】
（1）与相似．

理由如下：

由折叠知，，

，

又，

．

（2），设，

则．

由勾股定理得．

．

由（1），得，

，

．

在中，，

，解得．

，点的坐标为，

点的坐标为，

设直线的解析式为，

解得

，则点的坐标为．

（3）满足条件的直线有2条：，

．

如图2：准确画出两条直线．

【解析】（1）由折叠知，，根据同角的余角相等可得，再有

即可得到与相似；

（2）），设，则，由勾股定理得，

，由（1），根据对应边成比例可得，，在中根据勾股定义即可求出，从而得到点、点的坐标，再根据待定系数法即可得到直线的解析式，从而得到点的坐标。

（3）存在，应该有两条如图：

①直线BF，根据折叠的性质可知CE必垂直平分BD，那么∠DGP=∠CGF=90°，而∠CFG=∠DPG（都是∠OCP的余角），由此可得出两三角形相似，那么可根据B、D两点的坐标求出此直线的解析式．

②直线DN，由于∠FCO=∠NDO，那么可根据∠OCE即∠BEC的正切值，求出∠NDO的正切值，然后用OD的长求出ON的值，即可求出N点的坐标，然后根据N、D两点的坐标求出直线DN的解析式．