Question

如图，已知A（﹣4，0），B（0，4），现以A点为位似中心，相似比为9：4，将OB向右侧放大，B点的对应点为C．

（1）求C点坐标及直线BC的解析式；

（2）一抛物线经过B、C两点，且顶点落在x轴正半轴上，求该抛物线的解析式并画出函数图象；

（3）现将直线BC绕B点旋转与抛物线相交与另一点P，请找出抛物线上所有满足到直线AB距离为的点P．

Answer

（1）过C点向x轴作垂线，垂足为D，

由位似图形性质可知：△ABO∽△ACD， ∴．

由已知，可知： ．

∴．∴C点坐标为．

设直线BC的解析式为： y=kx+4，将（5,9）代入得

5k+4=9，解得k=1.

所以y=x+4.

（2）因为抛物线顶点在x轴正半轴，所以设顶点坐标为（h，0），则设抛物线解析式为

y=a（x－h）2.

将（0,4），（5,9）代入函数解析式得.解得或者.

∴解得抛物线解析式为或．

又∵的顶点在x轴负半轴上，不合题意，故舍去．

∴满足条件的抛物线解析式为

（准确画出函数图象） 

（3） 将直线BC绕B点旋转与抛物线相交与另一点P，设P到 直线AB的距离为h，

故P点应在与直线AB平行，且相距的上下两条平行直线和上．

由平行线的性质可得：两条平行直线与y轴的交点到直线BC的距离也为．

如图，设与y轴交于E点，过E作EF⊥BC于F点，

在Rt△BEF中，，

∴．∴可以求得直线与y轴交点坐标为

同理可求得直线与y轴交点坐标为

∴两直线解析式；．

根据题意列出方程组： ⑴；⑵

∴解得：；；；

∴满足条件的点P有四个，它们分别是，，， 

【解析】（1）利用位似图形的性质及相似比，可得OD，OC的长度，进而得到C点的坐标．利用待定系数法求出直线BC的函数解析式.

（2）顶点落在x轴正半轴上，所以抛物线设出顶点式，然后把B，C两点代入求得二次函数解析式，最后将不符合条件的舍去．

（3）到直线AB的距离为的直线有两条.根据直线AB的解析式可求得其与y轴的夹角为45°，从而得到Rt△EPB为等腰直角三角形，得到斜边BE=6.从而得到直线和的解析式.两直线的解析式分别于二次函数解析式组成方程组，就可以求得点P的坐标．