Question

如图，AC是圆O的直径，AC=10厘米，PA，PB是圆O的切线，A，B为切点，过A作AD⊥BP，交BP于D点，连结AB、BC.

（1）求证△ABC∽△ADB;

（2）若切线AP的长为12厘米，求弦AB的长.

Answer

(1)证明：∵AC是圆O的直径，∴∠ABC=90 o，

又∵AD⊥BP，∴∠ADB=90 o，∴∠ABC=∠ADB，

又∵PB是圆的切线，∴∠ABD=∠ACB，

在△ABC和△ADB中：

，∴△ABC∽△ADB;

（2）如图，连结OP，

在Rt△AOP中，AP=12厘米,OA=5厘米,根据勾股定理求得OP=13厘米,

又由已知可证得△ABC∽△PAO, ∴,得,解得AB=厘米.

【解析】（1）根据AC为⊙O的半径，可知：∠ABC=90°，由AD⊥BP，可知：∠ABC=∠ADB，根据切线的性质知：∠ABD=∠ACB，从而可证：△ABC∽△ADB；

（2）在Rt△POA中，根据勾股定理可将OP的长求出，再根据△ABC∽△PAO，可将AB的长求出．