Question

如图，在平行四边形ABCD中，E，F为BC上两点，且BE=CF，AF=DE．

求证：（1）△ABF≌△DCE；

（2）四边形ABCD是矩形．

Answer

（1）∵BE=CF，BF=BE+EF，CE=CF+EF，∴BF=CE．

∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=DC．

在△ABF和△DCE中，∵AB=DC，BF=CE，AF=DE，

∴△ABF≌△DCE．

（2）∵△ABF≌△DCE，∴∠B=∠C．

∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD．

∴∠B+∠C=180°．

∴∠B=∠C=90°．

∴四边形ABCD是矩形．

【解析】（1）根据等量代换得到BE=CF，根据平行四边形的性质得AB=DC．利用“SSS”得△ABF≌△DCE．

（2）平行四边形的性质得到两边平行，从而∠B+∠C=180°．利用全等得∠B=∠C，从而得到一个直角，问题得证.