Question

已知二次函数y=x²+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：

（1）求该二次函数的关系式；

（2）当x为何值时，y有最小值，最小值是多少？

（3）若A（m，y₁），B（m+1，y₂）两点都在该函数的图象上，试比较y₁与y₂的大小．

Answer

（1）根据题意，二次函数的顶点坐标为（2,1），所以设y=a（x－2）2+1.

因为当x=0时，y=5，所以5=a（－2）2+1. 解得a=1，

所以该二次函数关系式为y=x2－4x+5；

（2）∵二次函数y=x2－4x+5的顶点坐标为（2,1），∴当x=2时，y有最小值，最小值是1，

（3）∵A（m，y1），B（m+1，y2）两点都在函数y=x2－4x+5的图象上，

所以y1=m2－4m+5，y2=（m+1）2－4（m+1）+5=m2－2m+2，

y2－y1=（m2－2m+2）－（m2－4m+5）=2m－3.

∴①当2m－3＜0，即m＜时，y1＞y2；

②当2m－3=0，即m=时，y1=y2；

③当2m－3＞0，即m＞时，y1＜y2．

【解析】（1）利用待定系数法求二次函数解析式时，若通过观察数据得到顶点坐标为（2,1），利用顶点时求解析式会更简单；

（2）从说给数据可得顶点坐标为（2,1），所以第（2）迎刃而解，不需要利用函数解析式去解决；

（3）将所给点的横坐标代入函数解析式得到纵坐标的值，纵坐标的大小比较字母取值的问题．