Question

如图，四边形ABCD中，AD＝CD，∠DAB＝∠ACB＝90°，过点D作DE⊥AC，垂足为F，DE与AB相交于点E．

（1）求证：AB·AF＝CB·CD；

（2）已知AB＝15 cm，BC＝9 cm，P是射线DE上的动点．设DP＝x cm（），四边形BCDP的面积为y cm²．

①求y关于x的函数关系式；

②当x为何值时，△PBC的周长最小，并求出此时y的值．

Answer

（1）证明：∵，，∴DE垂直平分AC，

∴,∠DFA＝∠DFC ＝90°，∠DAF＝∠DCF．

∵∠DAB＝∠DAF＋∠CAB＝90°，∠CAB＋∠B＝90°，∴∠DCF＝∠DAF＝∠B．

在Rt△DCF和Rt△ABC中，∠DFC＝∠ACB＝90°，∠DCF＝∠B，

∴△DCF∽△ABC．

∴，即．∴AB·AF＝CB·CD．

（2）【解析】
①∵AB＝15，BC＝9，∠ACB＝90°，

 ∴，∴．

∴（）．

②∵BC＝9（定值），∴△PBC的周长最小，就是PB＋PC最小．由（1）知，点C关于直线DE的对称点是点A，∴PB+PC＝PB+PA，故只要求PB+PA最小．

显然当P、A、B三点共线时PB+PA最小．此时DP＝DE，PB+PA＝AB．

由（1），，，得△DAF∽△ABC．

EF∥BC，得，EF=．

∴AF∶BC＝AD∶AB，即6∶9＝AD∶15．∴AD＝10．

Rt△ADF中，AD＝10，AF＝6，∴DF＝8．

∴．

∴当时，△PBC的周长最小，此时．

【解析】（1）根据已知可得到∠BAC=∠ADF和∠DFA=∠ACB，从而利用有两对角对应相等的两三角形相似，得到△DFA∽△ACB，根据相似三角形的对应边成比例及AD=CD即可推出AB•AF=CB•CD；

（2）①根据勾股定理求出AC，求出CF的长，得出四边形BCDP是梯形，根据梯形的面积公式得出即可；②求出CP+BP最小时，△BCP的周长最小，根据对称得出当P到E时，△PBC的周长最小，证△DAE∽△ACB，得出比例式，求出DE的值即可．