Question

如图，抛物线与轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，且当=O和=4时，y的值相等。直线y=4x-16与这条抛物线相交于两点，其中一点的横坐标是3，另一点是这条抛物线的顶点M。

(1)求这条抛物线的解析式；

(2)P为线段OM上一点，过点P作PQ⊥轴于点Q。若点P在线段OM上运动（点P不与点O重合，但可以与点M重合），设OQ的长为t，四边形PQCO的面积为S，求S与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围；

(3)随着点P的运动，四边形PQCO的面积S有最大值吗？如果S有最大值，请求出S的最大值并指出点Q的具体位置和四边形PQCO的特殊形状；如果S没有最大值，请简要说明理由；

(4)随着点P的运动，是否存在t的某个值，能满足PO=OC？如果存在，请求出t的值。

Answer

（1）（2）S=2t2+4t,＜≤（3）点在线段的中点上，16，平行四边形（4）

【解析】【解析】
（1）∵当和时，的值相等，∴，……1分

∴，∴

将代入，得，

将代入，得………………………………………….2分

∴设抛物线的解析式为

将点代入，得，解得.

∴抛物线，即……………………………..3分

(2)设直线OM的解析式为，将点M代入，得，

∴……………………………………………………………………..4分

则点P,,而,.

=.......................5分

的取值范围为：＜≤.......................................6分

（1）随着点的运动，四边形的面积有最大值.

   从图像可看出，随着点由→运动，的面积与的面积在不断增大,即不断变大，显当然点运动到点时，有最值...............7分

   此时时，点在线段的中点上............. ................8分

  因而.

  当时，,∥,∴四边形是平行四边形. ..9分

(4)随着点的运动，存在，能满足.................10分

   设点，，. 由勾股定理，得.

   ∵,∴，＜，(不合题意)

   ∴当时，...................................11分

（1）x=O和x=4时，y的值相等，即可得到函数的对称轴是x=2，把x=2和x=3分别代入直线y=4x-16就可以求出抛物线上的两个点的坐标，并且其中一点是顶点，利用待定系数法，设出函数的顶点式一般形式，就可以求出函数的解析式；

（2）根据待定系数法可以求出直线OM的解析式，设OQ的长为t，即P，Q的横坐标是t，把x=t代入直线OM的解析式，就可以求出P点的纵坐标，得到PQ的长，四边形PQCO的面积S=S△COQ+S△OPQ，很据三角形的面积公式就可以得到函数解析式；

（3）从图象可看出，随着点P由O→M运动，△COQ的面积与△OPQ的面积在不断增大，即S不断变大，显当然点P运动到点M时，S最值；

（4）在直角△OPQ中，根据勾股定理就可以求出点P的坐标．