Question

如图，在中，，，，分别是边的中点，点从点出发沿方向运动，过点作于，过点作交于，当点与点重合时，点停止运动．设，．

（1）求点到的距离的长；

（2）求关于的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；

（3）是否存在点，使为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的的值；若不存在，请说明理由．

Answer

【解析】
（1），，，．

点为中点，．

，．

，

，．

（2），．

，，

，，

即关于的函数关系式为：．

（3）存在，分三种情况：

①当时，过点作于，则．

，，

．

，，

，．

②当时，，

．

③当时，则为中垂线上的点，

于是点为的中点，

．

，

，．

综上所述，当为或6或时，为等腰三角形．

【解析】（1）找出三角形相似的条件（两组角对应相等），根据相似三角形对应边成比例求出的长；

（2）利用相似三角形对应边成比例得到关于的函数关系式；

（3）需分情况讨论哪条边是底还是腰，①利用同角的余角相等及等角的余弦值相等，得到的方程即可；②则；③根据到线段的两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上得为中垂线上的点，知点为的中点，根据得到的方程即可。