Question

如图，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为，，，将此三角板绕原点顺时针旋转，得到．

（1）如图，一抛物线经过点，求该抛物线解析式；

（2）设点是在第一象限内抛物线上一动点，求使四边形的面积达到最大时点的坐标及面积的最大值．

Answer

【解析】
（1）∵抛物线过

设抛物线的解析式为

又∵抛物线过，将坐标代入上解析式得：

即满足条件的抛物线解析式为

（2）（解法一）：如图1，∵为第一象限内抛物线上一动点，

设则

点坐标满足

连接

=

当时，最大．

此时，．即当动点的坐标为时，

最大，最大面积为

（解法二）：如图2，连接为第一象限内抛物线上一动点，

且的面积为定值，

最大时必须最大．

∵长度为定值，∴最大时点到的距离最大．

即将直线向上平移到与抛物线有唯一交点时，

到的距离最大．

设与直线平行的直线的解析式为

联立

得

令

解得此时直线的解析式为：

解得

∴直线与抛物线唯一交点坐标为

设与轴交于则

过作于在中，

过作于则到的距离

此时四边形的面积最大．

∴的最大值=

【解析】（1）由三点的坐标根据待定系数法即可求出解析式；

（2）先根据题意列出函数关系式，再根据函数关系式的特征即可得到最大值。