Question

如图，在平面直角坐标系中，半径为1的圆的圆心在坐标原点，且与两坐标轴分别交于四点．抛物线与轴交于点，与直线交于点，且分别与圆相切于点和点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）抛物线的对称轴交轴于点，连结，并延长交圆于，求的长．

（3）过点作圆的切线交的延长线于点，判断点是否在抛物线上，说明理由．

Answer

（1）（2）（3）点在抛物线上，理由见解析

【解析】【解析】
（1）圆心在坐标原点，圆的半径为1，

点的坐标分别为

抛物线与直线交于点，且分别与圆相切于点和点，

．

点在抛物线上，将的坐标代入

，得：   解之，得：

抛物线的解析式为：．

（2）

抛物线的对称轴为，

．

连结，

，，

又，

，

．

（3）点在抛物线上．

设过点的直线为：，

将点的坐标代入，得：，

直线为：．

过点作圆的切线与轴平行，点的纵坐标为，

将代入，得：．

点的坐标为，

当时，，

所以，点在抛物线上．

（1）根据⊙O半径为1，得出D点坐标，再利用CO=1，AO=1，点M、N在直线y=x上，即可求出答案；

（2）先利用配方法求出顶点坐标，再根据相似三角形的对应边成比例即可求得结果；

（3）先求出直线CD的解析式，即可得到点P的坐标，从而可以判断点是否在抛物线上．