Question

如图所示，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，DE∥BC，如图①，然后将△ADE绕A点顺时针旋转一定角度，得到图②，然后将BD、CE分别延长至M、N，使DM＝BD，EN＝CE，得到图③，请解答下列问题：

(1)若AB＝AC，请探究下列数量关系：

①在图②中，BD与CE的数量关系是________________；

②在图③中，猜想AM与AN的数量关系、∠MAN与∠BAC的数量关系，并证明你的猜想；

(2)若AB＝k·AC(k＞1)，按上述操作方法，得到图④，请继续探究：AM与AN的数量关系、∠MAN与∠BAC的数量关系，直接写出你的猜想，不必证明．

Answer

（1）①BD=CE； 

②AM=AN，∠MAN=∠BAC  理由如下：

∵在图①中，DE//BC，AB=AC

∴AD=AE.

在△ABD与△ACE中∴△ABD≌△ACE.

∴BD=CE，∠ACE=∠ABD.

在△DAM与△EAN中，

∵DM=BD，EN=CE，BD=CE，∴DM=EN，∵∠AEN=∠ACE+∠CAE，∠ADM=∠ABD+∠BAD，∴∠AEN=∠ADM.

又∵AE=AD，∴△ADM≌△AEN.∴AM=AN，∠DAM=∠EAN.∴∠MAN=∠DAE=∠BAC.

∴AM=AN，∠MAN=∠BAC.            

（2）AM=kAN，∠MAN=∠BAC.

【解析】（1）①根据题意和旋转的性质可知△AEC≌△ADB，所以BD=CE；

②根据题意可知∠CAE=BAD，AB=AC，AD=AE，所以得到△BAD≌△CAE，在△ABM和△ACN中，

DM=BD，EN=CE，可证△ABM≌△ACN，所以AM=AN，即∠MAN=∠BAC．

（2）直接类比（1）中结果可知AM=k•AN，∠MAN=∠BAC．