Question

已知AB=2，AD=4，∠DAB=90°，AD∥BC（如图）．E是射线BC上的动点（点E与点B不重合），M是线段DE的中点．

（1）设BE=x，△ABM的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；

（2）如果以线段AB为直径的圆与以线段DE为直径的圆外切，求线段BE的长；

（3）联结BD，交线段AM于点N，如果以A、N、D为顶点的三角形与△BME相似，求线段BE的长．

Answer

（1）取中点，联结，

为的中点，，．

又，．

∵，得；

（2）由已知得．

以线段AB为直径的圆与以线段DE为直径的圆外切，

，            

即． 

解得，即线段的长为；

（3）由已知，以为顶点的三角形与相似，

又易证得．

由此可知，另一对对应角相等有两种情况：

①；②．

①当时，，

．．

，易得．得； 

②当时，，

．

．又，

．

，即，              

得．

解得，（舍去）．即线段BE的长为2．   

综上所述，所求线段BE的长为8或2．

【解析】（1）△ABM中，已知了AB的长，要求面积就必须求出M到AB的距离，如果连接AB的中点和M，那么这条线就是直角梯形的中位线也是三角形ABM的高，那么AB边上的高就是（AD+BE）的一半，然后根据三角形的面积公式即可得出y，x的函数关系式；

（2）根据以AB，DE为直径的圆外切，那么可得出的是AD+BC=AB+DE，那么可根据BE，AD的差和AB的长，用勾股定理来表示出DE，然后根据上面分析的等量关系得出关于x的方程，即可求出x的值，即BE的长；

（3）如果三角形ADN和BME相似，一定不相等的角是∠ADN和∠MBE，因为AD∥BC，如果两角相等，那么M与D重合，显然不合题意．因此本题分两种情况进行讨论：

①当∠ADN=∠BME时，∠DBE=∠BME，因此三角形BDE和MBE相似，可得出关于DE，BE，EM的比例关系式，即可求出x的值．

②当∠AND=∠BEM时，∠ADB=∠BEM，可根据这两个角的正切值求出x的值．