Question

如图，直线分别交轴，轴于两点，以为边作矩形，为的中点．以，为斜边端点作等腰直角三角形，点在第一象限，设矩形与重叠部分的面积为．

（1）求点的坐标；

（2）当值由小到大变化时，求与的函数关系式；

（3）若在直线上存在点，使等于，求出的取值范围；

（4）在值的变化过程中，若为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的值．

Answer

解: （1）作于，则．

，．   

（2）当时，如图①,

 ．

当时，如图②，

设交于．

．

．

即．

或．

当时，如图③，

设交于．

．

，

或．

当时，如图④，

．

（此问不画图不扣分） 

（3）.

（提示：以为直径作圆，当直线

与此圆相切时，．）

（4）的值为，，．

（提示：当时，．

当时，（舍），．

当时，．）

【解析】（1）作出作PK⊥MN于K，利用等腰三角形的性质得出KO的长，即可出P点的坐标；

（2）利用关于x轴对称的性质得出P′点的坐标，再利用交点式求出二次函数解析式即可；

（3）分别利用当0＜b≤2时，当2＜b≤3时以及当3＜b＜4时和当b≥4时结合图象求出即可；

（4）分PC为腰或底两种情况分析。