Question

如图1，Rt△ABC≌Rt△EDF，∠ACB=∠F=90°，∠A=∠E=30°．△EDF绕着边AB的中点D旋转， DE，DF分别交线段AC于点M，K．

（1）观察： ①如图2、图3，当∠CDF=0° 或60°时，AM+CK_______MK(填“>”，“<”或“=”)．

②如图4，当∠CDF=30° 时，AM+CK___MK(只填“>”或“<”)．

（2）猜想：如图1，当0°＜∠CDF＜60°时，AM+CK_______MK，证明你所得到的结论．

（3）如果，请直接写出∠CDF的度数和的值．

Answer

（1）①在Rt△ABC中，D是AB的中点，

∴AD=BD=CD=AB，∠B=∠BDC=60°

又∵∠A=30°，

∴∠ACD=60°-30°=30°，

又∵∠CDE=60°，或∠CDF=60°时，

∴∠CKD=90°，

∴在△CDA中，AM（K）=CM（K），即AM（K）=KM（C）（等腰三角形底边上的垂线与中线重合），

∵CK=0，或AM=0，

∴AM+CK=MK；………………………………………2分

②由①，得

∠ACD=30°，∠CDB=60°，

又∵∠A=30°，∠CDF=30，∠EDF=60°，

∴∠ADM=30°，

∴AM=MD，CK=KD，

∴AM+CK=MD+KD，

∴在△MKD中，AM+CK＞MK（两边之和大于第三边）．………………………………………2分

（2）＞     ………………………………………2分

证明：作点C关于FD的对称点G，

连接GK，GM，GD，

则CD=GD，GK=CK，∠GDK=∠CDK，

∵D是AB的中点，∴AD=CD=GD、

∵∠A=30°，∴∠CDA=120°，

∵∠EDF=60°，∴∠GDM+∠GDK=60°，

∠ADM+∠CDK=60°．

∴∠ADM=∠GDM，…………………………………3分

∵DM=DM，

∴AD=DG，∠ADM=∠GDM，DM=DM

∴△ADM≌△GDM，（SAS）

∴GM=AM．

∵GM+GK＞MK，∴AM+CK＞MK．…………………………………………1分

（3）由（2），得GM=AM，GK=CK，

∵MK2+CK2=AM2，

∴MK2+GK2=GM2，

∴∠GKM=90°，

又∵点C关于FD的对称点G，

∴∠CKG=90°，∠FKC=∠CKG=45°，

又有（1），得∠A=∠ACD=30°，

∴∠FKC=∠CDF+∠ACD，

∴∠CDF=∠FKC-∠ACD=15°，

在Rt△GKM中，∠MGK=∠DGK+∠MGD=∠A+∠ACD=60°，

∴∠GMK=30°，

∴，

∴．…………………………………………2分

【解析】（1）先证明△CDA是等腰三角形，再根据等腰三角形的性质证明AM+CK=MK；在△MKD中，AM+CK＞MK（两边之和大于第三边）；

（2）作点C关于FD的对称点G，连接GK，GM，GD．证明△ADM≌△GDM后，根据全等三角形的性质，GM=AM，GM+GK＞MK，∴AM+CK＞MK；

（3）根据勾股定理的逆定理求得∠GKM=90°，又∵点C关于FD的对称点G，∴＜CKG=90°，＜FKC=＜CKG=45°，根据三角形的外角定理，就可以求得∠CDF=15°；在Rt△GKM中，∠MGK=∠DGK+∠MGD=∠A+∠ACD=60°，∴∠GMK=30°，利用余弦定理解得．