Question

如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8．点P，Q都是斜边AB上的动点，点P从B向A运动（不与点B重合），点Q从A向B运动，BP=AQ．点D，E分别是点A，B以Q，P为对称中心的对称点， HQ⊥AB于Q，交AC于点H．当点E到达顶点A时，P，Q同时停止运动．设BP的长为x，△HDE的面积为y．

（1）求证：△DHQ∽△ABC；

（2）求y关于x的函数解析式并求y的最大值；

（3）当x为何值时，△HDE为等腰三角形？

Answer

（1）∵A、D关于点Q成中心对称，HQ⊥AB，

∴=90°，HD=HA，

∴，…………………………………………………………………………3分

∴△DHQ∽△ABC． ……………………………………………………………………1分

（2）①如图1，当时，

ED=，QH=，

此时． …………………………………………3分

当时，最大值．

②如图2，当时，

ED=，QH=，

此时． …………………………………………2分

当时，最大值．

∴y与x之间的函数解析式为

y的最大值是．……………………………………………………………………1分

（3）①如图1，当时，

若DE=DH，∵DH=AH=， DE=，

∴=，．

显然ED=EH，HD=HE不可能； ……………………………………………………1分

②如图2，当时，

若DE=DH，=，；   …………………………………………1分

若HD=HE，此时点D，E分别与点B，A重合，；  ………………………1分

若ED=EH，则△EDH∽△HDA，

∴，，．   ……………………………………1分

∴当x的值为时，△HDE是等腰三角形.

（其他解法相应给分）

【解析】（1）根据对称性可得HD=HA，那么可得∠HDQ=∠A，加上已有的两个直角相等，那么所求的三角形相似；

（2）利用BP在不同位置的不同取值，得到y关于x的函数关系式，利用二次函数的最值即可求得最大值；

（3）等腰三角形有两边相等，根据所在的不同位置再分不同的边相等解答．